Kita ketahui, persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal alias rumit (metode numerik). Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). Maka dari itu, pada kesempatan kali ini, saya akan membahas mengenai metode numerik secara umum.
Metode
Analitik VS Metode Numeric
Metode
analitik biasa juga disebut metode sejati karena ia memberi kita solusi sejati
(exact solution) atau solusi yang
sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol! Sayangnya, metode analitik hanya unggul
untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran
geometri sederhana serta bermatra rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia
nyata seringkali nirlanjar serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya
nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.
Bila
metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalansebenarnya
masih dapat dicari dengan menggunakan metode
numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi
perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya
cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah
berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.
Metode
numerik dan metode analitik memiliki dua perbedaan utama, yaitu:
- Metode
numerik selalu berbentuk angka sedangkan metode analitik berbentuk fungsi
matematika
- Metode
numeric menghasilkan solusi hampiran dan metode analitik menghasilkan solusi sejati
Pada
metode numerik memperoleh solusi hampiran yang dimana menghampiri
atau mendekati solusi sejati, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang
kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati,
sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat
(error).
Metode Numerik dalam Bidang Rekayasa
Dalam bidang rekayasa, kebutuhan untuk menemukan solusi persoalan secara
praktis adalah jelas. Tetapi dari kacamata rekayasawan, Penyelesaian analitik yang sering diberikan oleh kaum
matematika kurang karena mereka harus dapat
mentransformasikan solusi matematika yang sejati ke dalam bentuk berwudud
yang biasanya meninggalkan kaidah kesejatiannya sehingga solusi hampiran
biasanya sudah memenuhi persyaratan rekayasa dan dapat diterima sebagai
solusi. Kadang-kadang dapat pula terjadi
bahwa metode analitik hanya menjamin keberadaan (atau hanya
mengkarakteristikkan beberapa properti umum) solusi, tetapi tidak memberikan
cara menemukan solusi tersebut.
Bagi rekayasawan, solusi yang diperoleh secara analitik kurang kurang berguna
untuk tujuan numerik. Persoalan rekayasa dalam prakteknya tidak selalu
membutuhkan solusi dalam bentuk fungsi matematika menerus (continuous).
Rekayasawan seringkali menginginkan solusi dalam bentuk numerik, misalnya
persoalan integral tentu dan persamaan diferensial tetapi solusi persamaan diferensial yang berbentuk fungsi menerus
ini tidak terlalu penting (bahkan beberapa persamaan diferensial tidak dapat
dicari solusi khususnya karena memang tidak ada teknik yang baku untuk
menyelesaikannya) sehingga Rekayasawan cukup memodelkan sistem ke dalam persamaan
diferensial, lalu solusi untuk t tertentu dicari secara numerik.
Apakah Metode Numerik Hanya untuk Persoalan Matematika yang Rumit Saja?
Terkadang beberapa orang pasti mempunyai pertanyaan atau bahkan mempunyai pemikiran seperti pertanyaan diatas. tetapi saya pastikan bahwa metode numerik TIDAK hanya untuk persoalan matematika yang rumit saja dikarenakan metode numerik berlaku umum, yakni ia dapat diterapkan untuk menyelesaikan persoalan matematika sederhana (yang juga dapat diselesaikan dengan metode analitik) maupun persoalan matematika yang tergolong rumit (yang metode analitik pun belum tentu dapat menyelesaikannya).Sebagai contoh, dengan metode numerik kita dapat menghitung integral
sama mudahnya menghitung
Peranan Komputer dalam Metode
Numerik
Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik. Hal ini
mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik adalah berupa
operasi aritmetika seperti penjumlahan, perkalian, pembagian, plus membuat
perbandingan. Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk memprogram.
Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer.
Program ditulis dengan bahasa pemrograman tertentu, seperti FORTRAN,
PASCAL, C, C++, BASIC, dan sebagainya. Dalam hal ini, komputer berperanan mempercepat proses
perhitungan tanpa membuat kesalahan.
Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencoba
berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter.
Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter.
Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini adalah
perhitungan "waktu nyata" (real time computing), yaitu perhitungan keluaran
(hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara simultan dengan event
pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang dibutuhkan dalam mengendalikan
proses kimia atau reaksi nuklir, memandu pesawat udara atau roket dan
sebagainya.
Jelaslah bahwa kecepatan tinggi, keandalan, dan fleksibilitas komputer yang memberikan akses untuk penyelesaian masalah praktek. Sebagai contoh, solusi
sistem persamaan lanjar yang besar menjadi lebih mudah dan lebih cepat
diselesaikan dengan komputer. Perkembangan yang cepat dalam metode numerik
antara lain ialah penemuan metode baru, modifikasi metode yang sudah ada agar
lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untuk proses perhitungan
baku, pengkajian galat, dan penghilangan jebakan yang ada pada metode.
Mengapa Kita Harus Mempelajari Metode Numerik?
Tentu saja kita harus mempelajari metode numerik, hal ini dikarenakan dalam pekerjaannya sering berhadapan dengan persamaan matematik. Persoalan yang muncul di lapangan diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika. Persamaan tersebut mungkin sangat kompleks atau jumlahnya lebih dari satu. Metode numerik, dengan bantuan komputer, memberkan cara penyelesaian persoalan matematika dengan cepat dan akurat.1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang
sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar,
kenirlanjaran, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa
seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik.
2. Penggunaan aplikasi numerik komersial akan menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar kita dapat memahami
cara paket tersebut menyelesaikan persoalan.
3. Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket
programnya. Seringkali beberapa persoalan matematika yang tidak selalu
dapat diselesaikan oleh program aplikasi.
4. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman
matematika. Karena, metode numerik ditemukan dengan menyederhanakan
matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.
Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik\
Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan
metode numerik, yaitu:
1. Pemodelan
Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam
persamaan matematika
2. Penyederhanaan model
Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks,
yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin
kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin
beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan.
Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan di
dalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari
penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih
mudah diperoleh.
3. Formulasi numerik
Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya
adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain:
a. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan
analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan
sebagainya).
Pemilihan metode didasari pada pertimbangan:
- apakah metode tersebut teliti?
- apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat?
- apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil?
- apakah metode tersebut teliti?
- apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat?
- apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil?
b. menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.
4. Pemrograman
Tahap
selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer
dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.
5. Operasional
Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum
data yang sesungguhnya. 6. Evaluasi
Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka
hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan
membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk
menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali
program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.
Peran Ahli Informatika dalam Metode Numerik
Dari tahap-tahap pemecahan yang dikemukan di atas, tahap 1 dan 2 melibatkan
para pakar di bidang persoalan yang bersangkutan. Kalau persoalannya dalam
bidang eknik Sipil, maka orang dari bidang Sipil-lah yang menurunkan model
matematikanya. Kalau persoalannya menyangkut bidang Teknik Kimia (TK),
maka ahli Teknik Kimia-lah yang mempunyai kemmapuan membentuk model
matematikanya.
Dimanakah peran orang Informatika? Orang Informatika baru berperan pada
tahap 3 dan 4, dan 5. Tetapi, agar lebih memahami dan menghayati persoalan,
sebaiknya orang Informatika juga ikut dilibatkan dalam memodelkan, namun
perannya hanyalah sebagai pendengar.
Tahap 6 memerlukan kerjasama informatikawan dengan pakar bidang
bersangkutan. Bersama-sama dengan pakar, informatikawan mendiskusikan hasil
numerik yang diperoleh, apakah hasil tersebut sudah dapat diterima, apakah perlu
dilakukan perubahan parameter, dsb.
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik
Untuk persoalan tertentu tidaklah cukup kita hanya menggunakan metode untuk
memperoleh hasil yang diinginkan; kita juga perlu mengetahui apakah metode
tersebut memang memberikan solusi hampiran, dan seberapa bagus hampiran itu. Hal ini melahirkan kajian baru, yaitu analisis numerik.
Metode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda. Metode
adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara
numerik, sedangkan analisis numerik adalah terapan matematika untuk
menganalisis metode. Dalam analisis numerik, hal utama yang
ditekankan adalah analisis galat dan kecepatan konvergensi sebuah metode.
Teorema-teorema matematika banyak dipakai dalam menganalisis suatu metode.
Di dalam buku ini, kita akan memasukkan beberapa materi analisis numerik
seperti galat metode dan kekonvergenan metode.
Tugas para analis numerik ialah mengembangkan dan menganalisis metode
numerik. Termasuk di dalamnya pembuktian apakah suatu metode konvergen,
dan menganalisis batas-batas galat solusi numerik.Terdapat banyak sumber galat,
diantaranya tingkat ketelitian model matematika, sistem aritmetik komputer, dan
kondisi yang digunakan untuk menghentikan proses pencarian solusi. Semua ini
harus dipertimbangkan untuk menjamin ketelitian solusi akhir yang dihitung.
